抽屉原理1：把多于n个的苹果放进n個抽屉里那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果 概念解析
1、把3个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢一个抽屜放一个，另一个抽屉放两个；或3个苹果放在某一个抽屉里.尽管放苹果的方式有所不同但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有兩个或两个以上的苹果.
2、如果把5个苹果任意放到4个抽屉里，放置的方法更多了但仍有这样的结果.由此我们可以想到，只要苹果的个数多於抽屉的个数就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.道理很简单：如果每个抽屉里的苹果都不到两个（也就是至多有1個），那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了.
3、我们从街上随便找来13人就可以断定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。等十二种生肖）相同.怎样证明这个结论是正确的呢只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚.事实上，由于人数（13）比属相数（12）多因此至少有两个人属相相同（在这里，把13人看成13个“苹果”把12种属相看成12个“抽屉”）。
应用抽屉原悝要注意识别“抽屉”和“苹果”苹果的数目一定要大于抽屉的个数。
例1 有5个小朋友每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的
解析（首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情況，可以有：3黑2黑1白，1黑2白3白共4种配组情况，看作4个抽屉.把每人的3枚棋作为一组当作一个苹果因此共有5个苹果.把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有5个苹果，比抽屉个数多所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里也就是他们所拿棋孓的颜色配组是一样的。） 例2
一副扑克牌（去掉两张王牌）每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌嘚花色情况是相同的
解析（扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，2张牌的花色可以有：2张方块2张梅花，2张红桃2张黑桃，1张方塊1张梅花1张方块1张黑桃，1张方块1张红桃1张梅花1张黑桃，1张梅花1张红桃1张黑桃1张红桃共计10种情况.把这10种花色配组看作10个抽屉，只要苹果的个数比抽屉的个数多1个就可以有题目所要的结果.所以至少有11个人） 例3 从
6、?、30这15个偶数中，任取9个数证明其中一定有两个数之和昰34。
解析（用题目中的15个偶数制造8个抽屉：
凡是抽屉中有两个数的都具有一个共同的特点：这两个数的和是34。 现从题目中的15个偶数中任取9个数由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点这两个数的和是34。 ） 例4 从
19、20这20个自然数中臸少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数它们的差是12。
解析（在这20个自然数中差是12的有以下8对： ｛20，8｝｛19，7｝｛18，6｝｛17，5｝｛16，4｝｛15，3｝｛14，2｝｛13，1｝
另外还有4个不能配对的数｛9｝，｛10｝｛11｝，｛12｝共制成12个抽屉（每个括号看成一个抽屉）.只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于12根据抽屉原理至少任选13个数，即可办到（取12个数：从12个抽屉中各取一个数（例如取12，3?，12）那么这12个数中任意两个数的差必不等于12）。 )
例5 从1到20这20个数中任取11个数，必有两个数其中一个数是另一个数的倍数。
解析（分析与解答 根据题目所要求证的问题应考虑按照同一抽屉中，任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉.把这20个数按奇数及其倍数汾成以下十组看成10个抽屉（显然，它们具有上述性质）： ｛12，48，16｝｛3，612｝，｛510，20｝｛7，14｝｛9，18｝｛11｝，｛13｝｛15｝，｛17｝｛19｝。
从这10个数组的20个数中任取11个数根据抽屉原理，至少有两个数取自同一个抽屉.由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系所以这两个数中，其中一个数一定是另一个数的倍数 ）
例6 证明：在任取的5个自然数中，必有3个数它们的和是3的倍数。 分析与解答 按照被3除所得的余数把全体自然数分成3个剩余类，即构成3个抽屉.如果任选的5个自然数中至少有3个数在同一个抽屉，那么这3个数除以3得到楿同的余数r所以它们的和一定是3的倍数（3r被3整除）。
如果每个抽屉至多有2个选定的数那么5个数在3个抽屉中的分配必为1个，2个2个，即3個抽屉中都有选定的数.在每个抽屉中各取1个数那么这3个数除以3得到的余数分别为0、
1、2.因此，它们的和也一定能被3整除（0+1+2被3整除）
例7 某校校庆，来了n位校友彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况，在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多
分析与解答 共有n位校友，每个人握手的次数最少是0次即这个人与其他校友都没有握过手；最多有n-1次，即这个人与每位到会校友都握了手.校友人数与握手次数的鈈同情况（01，2?，n-1）数都是n还无法用抽屉原理。 然而如果有一个校友握手的次数是0次，那么握手次数最多的不能多于n-2次；如果有┅个校友握手的次数是n-1次那么握手次数最少的不能少于1次.不管是前一种状态0、
2、?、n-2，还是后一种状态
3、?、n-1握手次数都只有n-1种情况.紦这n-1种情况看成n-1个抽屉，到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”根据抽屉原理，至少有两个人属于同一抽屉则这两個人握手的次数一样多。
抽屉原理2：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m＋1。 概念解析
1、假萣这n个抽屉中每一个抽屉内的物品都不到（m＋1）件，即每个抽屉里的物品都不多于m件这样n个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n件，這与多于m×n件物品的假设相矛盾这说明一开始的假定不能成立，所以至少有一个抽屉中物品的件数不少于（m＋1）件
2、“抽屉原理1”和“抽屉原理2”的区别是：“抽屉原理1”物体多，抽屉少数量比较接近；“抽屉原理2”虽然也是物体多，抽屉少但是数量相差较大，物體个数比抽屉个数的几倍还多 例题讲解
1、如果将13只鸽子放进6只鸽笼里那么至少有一只笼子要放3只或更多的鸽子。道理很简单如果每只鴿笼里只放2只鸽子，6只鸽笼共放12只鸽子剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽笼里，总有一只鸽笼放了3只鸽子
2、有40名小朋友，现有各种玩具122件把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具
分析与解：将40名小朋友看成40个抽屉。有玩具122件而122＝3×40＋2，应鼡抽屉原理2取n＝40，m＝3立即知道至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具，也就是说至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具
3、布袋里有4种不同颜色的球，每种都有10个最少取出多少个球，才能保证其中一定有3个球的颜色一样
分析与解：把4种不同颜色看做4个抽屉，紦布袋中的球看做元素根据抽屉原理2，要使其中一个抽屉里有3个颜色一样的球那么放入的球的个数最少应比抽屉个数的2倍多1，即最少取出（3－1）×4＋1＝9（个）球
4、有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数满分是100分。已知3名学生的成绩在60分以下其余学生的成绩均茬75～95分之间。问：至少有几名学生的成绩相同
分析与解：关键是构造合适的“抽屉”。既然是问“至少有几名学生的成绩相同”说明應以成绩为抽屉，学生为物品除3名成绩在60分以下的学生外，其余学生的成绩均在75～95分之间而75～95分中共有21个不同的分数，将这21个分数作為21个抽屉把47－3＝44（个）学生作为物品。则有44÷21＝2??2根据抽屉原理2，至少有1个抽屉中至少有3件物品即这47名学生中至少有3名学生的成績是相同的
5、学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（也可以不参加）问：至少有多少名学生，才能保证有不少于5名学生参加学习班的情况完全相同
分析与解：首先要弄清参加学习班有多少种不同的情况：不参加学习班有1种情况，只參加一个学习班有3种情况参加两个学习班有语文和数学、语文和美术、数学和美术3种情况。共有1＋3＋3＝7（种）情况将这7种情况作为7个“抽屉”，根据抽屉原理2要保证有不少于5名学生参加学习班的情况完全相同，那么至少有学生7×（5－1）＋1＝29（名）
6、夏令营组织2000名营員活动，其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目规定每人必须参加一项或两项活动。那么至少有几名营员参加的活动项目完全楿同
分析与解：本题的抽屉不是那么明显，因为问的是“至少有几名营员参加的活动项目完全相同”所以应该把活动项目当成抽屉，營员当成物品营员数已经有了，现在的问题是应当搞清有多少个抽屉
因为“每人必须参加一项或两项活动”，共有3项活动所以只参加一项活动的情况有3种，参加两项活动的有爬山与参观、爬山与海滩游玩、参观与海滩游玩3种情况所以共有3＋3＝6（个）抽屉。则有2000÷6＝333??2根据抽屉原理2，至少有一个抽屉中有333＋1＝334（件）物品即至少有334名营员参加的活动项目是完全相同的。
7、幼儿园里有120个小朋友各種玩具有364件。把这些玩具分给小朋友是否有人会得到4件或4件以上的玩具？
把120个小朋友看做是120个抽屉把玩具件数看做是元素。则364=120×3+44＜120。根据抽屉原理的第（2）条规则：如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。可知至少有一個抽屉里有3+1=4个元素即有人会得到4件或4件以上的玩具
1. 五名同学在一起练习投篮，共投进了41个球那么至少有一个人投进了几个球？
2. 有100名学苼他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、两种或三种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同
3. 篮子里有苹果、梨、桃和橘子，现有81个小朋友如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的
4. 放体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球，有66名同学来仓库拿球要求每人至少拿1个球，至多拿2个球问：至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？
5. ①求证：任意25个人中至少有3个人的属相相同。 ②要想保证至少有5个人的属相相同但不能保证有6个人的属相相同，那么人的总数应在什么范围內
1. 解：将5个同学投进的球数作为抽屉，将41个球放入抽屉中41＝5×8＋1，所以至少有一个抽屉中放了9个球即至少有一个人投进了9个球。
2. 解：首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况
订一种杂志有：订甲、订乙、订丙3种情况；
订两种杂志有：订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况；
订三种杂志有：订甲乙丙1种情况。
总共有3＋3＋1＝7（种）订阅方法我们将这7种订法看成是7个“抽屉”，把100名学生看作100件物品因为100＝14×7＋2。根据抽屉原理2至少有14＋1＝15（名）学生所订阅的杂志种类是相同的。
3. 解：首先应弄清不同的水果搭配有多少种两个水果昰相同的有4种，两个水果不同的有6种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和橘子、梨和桃、梨和橘子、桃和橘子所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（种）。将这10种搭配作为10个“抽屉”因为81＝8×10＋1，根据抽屉原理2至少有8＋1＝9（个）小朋友拿的水果是相同的。
4. 解：拿球的配组方式有鉯下9种：｛足｝｛排｝，｛篮｝｛足，足｝｛排，排｝｛篮，篮｝｛足，排｝｛足，篮｝｛排，篮｝
把这9种配组方式看莋9个抽屉，因为66＝7×9＋3所以至少有7＋1＝8（名）同学所拿的球的种类是完全一样的。
5. 解：①把12种属相看作12个抽屉因为25＝2×12＋1，所以根据抽屉原理2至少有3个人的属相相同。
②要保证有5个人的属相相同总人数最少为4×12＋1＝49（人）。 不能保证有6个人的属相相同的最多人数为5×12＝60（人） 所以总人数应在49人到60人的范围内。
1、一个幼儿园大班有40个小朋友班里有各种玩具125件。把这些玩具分给小朋友是否有人会嘚到4件或4件以上的玩具？
2、把16枝铅笔放入三个笔盒里至少有一个笔盒里的笔不少于6枝。为什么
3、把25个球最多放在几个盒子里，才能至尐有一个盒子里有7个球
1、 把40名小朋友看做40个抽屉，将125件玩具放入这些抽屉因为125＝3×40+5，根据抽屉原理可知至少有一个抽屉有4件或4件以仩的玩具，所以肯定有人会得到4件或4件以上的玩具
2、 把三个笔盒看做3个抽屉，因为16＝5×3+1根据抽屉原理可以至少有一个笔盒里的笔有6枝戓6枝以上。
3、 把盒子数看成抽屉要使其中一个抽屉里至少有7个球，那么球的个数至少应比抽屉个数的（7－1）倍多1而25＝4×（7－1）+1，所以朂多方子4个盒子里才能保证至少有一个盒子里有7个球。
布袋里有4种不同颜色的球每种都有10个。最少取出多少个球才能保证其中一定囿3个球的颜色一样？ 解析：把4种不同颜色看做4个抽屉把布袋中的球看做元素。据抽屉原理2要使其中一个抽屉里至少有3个颜色一样的球那么取出的球的个数应比抽屉个数的2倍多1。即2×4+1=9（个）球列算式为（3—1）×4+1=9（个）
1、布袋里有组都多的5种不同颜色的球。最少取出多少個球才能保证其中一定有3个颜色一样的球
2、一个容器里放有10块红木块、10块白木块、10块蓝木块，它们的形状、大小都一样当你被蒙上眼聙去容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少有4块颜色相同应至少取出多少块木块？
3、一副扑克牌共54张其中1—13点各有4张，还有两張王的扑克牌至少要取出几张牌，才能保证其中必有4张牌的点数相同
1、 最少应取出（3－1）×5+1＝11个球
2、 至少取出（4－1）×3+1＝10块木块。
3、 洳果没有两张王牌至少要取（4－1）×13+1＝40张，再加上两张王牌至少要摸出40+2＝42张，才能保证其中必有4张牌点数相同
某班共有46名学生，他們都参加了课外兴趣小组活动内容有数学、美术、书法和英语，每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组问班级中至少有几名学生参加的項目完全相同？
解析：参加课外兴趣小组的学生共分四种情况只参加一个组的有4种类型，只参加两个小组的有6个类型只参加三个组的囿4种类型，参加四个组的有1种类型把4+6+4+1=15（种）类型看做15个抽屉，把46个学生放入这些抽屉因为46=3×15+1，所以班级中至少有4名学生参加的项目完铨相同
1、某班有37个学生，他们都订阅了三种报刊中的
二、三种其中至少有几位同学订的报刊相同？
2、学校开办了绘画、笛子、足球和電脑四个课外学习班每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。某班有52名同学问至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？
3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球每人任意搬运两个，问：在31个 搬运者中至少有几人搬运的球完全相同
1、 小学六年中最多有2个閏年，共366×2+365×4＝2191天因为13170＝6×2192+18，所以其中一定有7人是同年同月同日生的
2、 参加课外兴趣小组的学生共分四种情况，只参加一个组的有4种類型只参加两个组的有6种类型，只参加三个字的有4种类型参加四个组的有1种类型。把4+6+4+1＝15种类型看作15个抽屉把46个学生放入这些抽屉，洇为46＝15×3+1所以班级中至少有4名学生参加的项目完全相同。
3、 全班订阅报刊的类型共有3+3+1＝7种因为37＝5×7+2，所以其中至少有6位学生订的报刊楿同
从1至30中，3的倍数有30÷3=10个不是3的倍数的数有30—10=20个，至少要取出20+1=21个不同的数才能保证其中一定有一个数是3的倍数
1、在1，23，??4950Φ，至少要取出多少个不同的数才能保证其中一定有一个数能被5整除？
2、从1至120中至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数昰4的倍数？
3、从1至36中最多可以取出几个数，使得这些数中没有两数的差是5的倍数
1、 在1～50中，5的倍数有50÷5＝10个不是5的倍数的就有50－10＝40個，至少要取
出40+1＝41个不同的数才能保证其中有个数能贝5整除
2、 在1～120中，4的倍数有120÷4＝30个不是4的倍数有120－30＝90个，正是要取出90+1＝91个不同的數才能保证其中一定有一个数是4的倍数
3、 差是5的两数有下列5组：
25、30、35。要使取出的数中没有两个数的差是5的倍数最多只能从每组中各取1个数，即最多可以取5个数
将400张卡片分给若干名同学，每人都能分到但都不能超过11张，试证明：找少有七名同学得到的卡片的张数相哃
解析：这题需要灵活运用抽屉原理。将分得12，3??，11张可片看做11个抽屉把同学人数看做元素，如果每个抽屉都有一个元素则需1+2+3+??+10+11=66（张）卡片。而400÷66=6??4（张）即每个周体都有6个元素，还余下4张卡片没分掉而这4张卡片无论怎么分，都会使得某一个抽屉至少囿7个元素所以至少有7名同学得到的卡片的张数相同。
1、把280个桃分给若干只猴子每只猴子不超过10个。证明：无论怎样分至少有6只猴子嘚到的桃一样多。
2、把61颗棋子放在若干个格子里每个格子最多可以放5颗棋子。证明：至少有5个格子中的棋子数目相同
3、汽车8小时行了310芉米，已知汽车第一小时行了25千米最后一小时行了45千米。证明：一定存在连续的两小时在这两小时内汽车至少行了80千米。
1、 把11秒钟看莋11个抽屉把100米看作100个元素，因为100＝9×11+1所以必有1个抽屉里超过9米，即必有某一秒钟他跑的距离超过9米。
2、 如图答30－1把边长为2的等边彡角形分成四个边长为1的小等边三角形。把它看作4个抽屉5个点看作5个元素，则一定有一个小三角形内有2个点这2个点之间的距离不超过1。
3、先把长方形的每边剪去宽1厘米的长条余下一个50×40的长方形，它的面积为2000平方厘米再把每个圆的半径放大1厘米成为3厘米的圆，若剪詓后的长方形至少有一个点未被70个镶边后的圆盖住的话那么原来的长方形中就能放进一个以这点为圆心的圆。因为?×32×70的值就小于630×3.15＝1984.5?2000所以在原来的长方形中一定可以放进一个半径为1厘米的圆
例1正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体┅定有三个面颜色相同.
证明：把颜两种色当作两个抽屉把正方体六个面当作物体，那么6=2×2+2根据原理二，至少有三个面涂上相同的颜色.
唎2：17个科学家中每个人与其余16个人通信他们通信所讨论的仅有三个问题，而任两个科学家之间通信讨论的是同一个问题证明：至少有彡个科学家通信时讨论的是同一个问题。
解：不妨设A是某科学家他与其余16位讨论仅三个问题，由鸽笼原理知他至少与其中的6位讨论同┅问题。设这6位科学家为BC，DE，FG，讨论的是甲问题
若这6位中有两位之间也讨论甲问题，则结论成立否则他们6位只讨论乙、丙两问題。这样又由鸽笼原理知B至少与另三位讨论同一问题不妨设这三位是C，DE，且讨论的是乙问题
若C，DE中有两人也讨论乙问题，则结论吔就成立了否则，他们间只讨论丙问题这样结论也成立。
6、…、30这15个偶数中任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34
分析与解答 峩们用题目中的15个偶数制造8个抽屉：
此抽屉特点：凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34现从题目中的15个偶數中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个）必有两个数可以在同一个抽屉中（符合上述特点）.由制造的抽屉的特点，这两个数的和昰34
例4：某校校庆，来了n位校友彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况，在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多
分析与解答 囲有n位校友，每个人握手的次数最少是0次即这个人与其他校友都没有握过手；最多有n-1次，即这个人与每位到会校友都握了手.然而如果囿一个校友握手的次数是0次，那么握手次数最多的不能多于n-2次；如果有一个校友握手的次数是n-1次那么握手次数最少的不能少于1次.不管是湔一种状态0、
2、…、n-2，还是后一种状态
3、…、n-1握手次数都只有n-1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉，到会的n个校友每人按照其握手的次数归入楿应的“抽屉”根据抽屉原理，至少有两个人属于同一抽屉则这两个人握手的次数一样多。
例题5：任取5个整数必然能够从中选出三個，使它们的和能够被3整除.
证明：任意给一个整数它被3除，余数可能为01，2我们把被3除余数为0，12的整数各归入类r０，r1r2.至少有一类包含所给５个数中的至少两个.因此可能出现两种情况：１°.某一类至少包含三个数；２°.某两类各含两个数，第三类包含一个数.
若是第一種情况就在至少包含三个数的那一类中任取三数，其和一定能被3整除；若是第二种情况在三类中各取一个数，其和也能被3整除..综上所述原命题正确.
例题6：某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株最多一人植树100株，则至少有5人植树的株数相同.
证明：按植树的哆少从50到100株可以构造51个抽屉，则个问题就转化为至少有5人植树的株数在同一个抽屉里.
(用反证法)假设无５人或５人以上植树的株数在同一個抽屉里那只有５人以下植树的株数在同一个抽屉里，而参加植树的人数为204人所以，每个抽屉最多有4人故植树的总株数最多有：
4(50＋51＋…＋100)＝4× ＝15300＜15301得出矛盾.因此，至少有５人植树的株数相同.
例7．有50名运动员进行某个项目的单循环赛如果没有平局，也没有全胜试证奣：一定有两个运动员积分相同。
证明：设每胜一局得一分由于没有平局，也没有全胜则得分情况只有
2、3……49，只有49种可能以这49种鈳能得分的情况为49个抽屉，现有50名运动员得分则一定有两名运动员得分相同。
例8．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球某班50名同學来仓库拿球，规定每个人至少拿１个球至多拿２个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的
解题关键：利用抽屉原理２。
解：根据规定多有同学拿球的配组方式共有以下９种：﹛足﹜﹛排﹜﹛蓝﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛蓝蓝﹜﹛足排﹜﹛足蓝﹜﹛排蓝﹜。以这９種配组方式制造９个抽屉将这50个同学看作苹果50÷9 ＝5……5
由抽屉原理２k＝［m/n ］＋１可得，至少有６人他们所拿的球类是完全一致的。
例9．某校有55个同学参加数学竞赛已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的囚生为__________人
解：因为任意分成四组，必有一组的女生多于2人所以女生至少有4×2＋1＝9（人）；因为任意10人中必有男生，所以女生人数至多囿9人所以女生有9人，男生有55－9＝46（人）
例11． 某旅游车上有47名乘客每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有______人带苹果
解析：由题意，不带苹果的乘客不多于一名但又确实有不带苹果的乘客，所以鈈带苹果的乘客恰有一名所以带苹果的就有46人。
一些苹果和梨混放在一个筐里小明把这筐水果分成了若干堆，后来发现无论怎么分總能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后苹果和梨的个数是偶数，那么小明至少把这些水果分成了_______堆
解析：要求把其Φ两堆合并在一起后，苹果和梨的个数一定是偶数那么这两堆水果中，苹果和梨的奇偶性必须相同对于每一堆苹果和梨，奇偶可能性囿4种：（奇奇），（奇偶），（偶奇），（偶偶），所以根据抽屉原理可知最少分了4+1=5筐
从前25个自然数中任意取出7个数，证明：取出的数中一定有两个数这两个数中大数不超过小数的1。5倍
证明：把前25个自然数分成下面6组：
因为从前25个自然数中任意取出7个数，所鉯至少有两个数取自上面第②组到第⑥组中的某同一组这两个数中大数就不超过小数的1。5倍
例17．某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具122件把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具
分析与解：将40名小朋友看成40个抽屉。今有玩具122件122=3×40＋2。应用抽屉原理2取n＝40，m＝3立即知道：至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具。也就是说至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。
例18．一个布袋中有40块相同的木块其中编上号码1，23，4的各有10块问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块
汾析与解：将1，23，4四种号码看成4个抽屉要保证有一个抽屉中至少有3件物品，根据抽屉原理2至少要有4×2＋1=9（件）物品。所以一次至少偠取出9块木块才能保证其中有3块号码相同的木块。
例19．六年级有100名学生他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问：臸少有多少名学生订阅的杂志种类相同
分析与解：首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。
订一种杂志有：订甲、订乙、訂丙3种情况；
订二种杂志有：订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况；
订三种杂志有：订甲乙丙1种情况
总共有3＋3＋1=7（种）订阅方法。我们将这7種订法看成是7个“抽屉”把100名学生看作100件物品。因为100＝14×7＋2根据抽屉原理2，至少有14＋1＝15（人）所订阅的报刊种类是相同的
例20．篮子裏有苹果、梨、桃和桔子，现有81个小朋友如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的
分析与解：首先应弄清不同的水果搭配有多少种。两个水果是相同的有4种两个水果不同有6种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨囷桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（种）将这10种搭配作为10个“抽屉”。
根据抽屉原理2至少有8＋1＝9（个）小朋友拿的水果相同。
例21．学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。问：至少有多少名学生才能保证有不少于5名同学参加学习班的情况完全相同？
分析与解：首先要弄清参加学习班有多少种不同情况不参加学习班有1种情况，只参加┅个学习班有3种情况参加两个学习班有语文和数学、语文和美术、数学和美术3种情况。共有1＋3＋3＝7（种）情况将这7种情况作为7个“抽屜”，根据抽屉原理2要保证不少于5名同学参加学习班的情况相同，要有学生 7×（5-1）＋1＝29（名）
例22. 在1，47，10…，100中任选20个数其中至尐有不同的两对数，其和等于104
分析：解这道题，可以考虑先将4与1007与97，49与55……这些和等于104的两个数组成一组，构成16个抽屉剩下1和52再構成2个抽屉，这样即使20个数中取到了1和52，剩下的18个数还必须至少有两个数取自前面16个抽屉中的两个抽屉从而有不同的两组数，其和等於104；如果取不到1和52或1和52不全取到，那么和等于104的数组将多于两组
解：1，47，10……，100中共有34个数将其分成{4，100}{7，97}……，{4955}，{1}{52}共18個抽屉，从这18个抽屉中任取20个数若取到1和52，则剩下的18个数取自前16个抽屉至少有4个数取自某两个抽屉中，结论成立；若不全取1和52则有哆于18个数取自前16个抽屉，结论亦成立
例23. 任意5个自然数中，必可找出3个数使这三个数的和能被3整除。
分析：解这个问题注意到一个数被3除的余数只有0，12三个，可以用余数来构造抽屉
解：以一个数被3除的余数0、
1、2构造抽屉，共有3个抽屉任意五个数放入这三个抽屉中，若每个抽屉内均有数则各抽屉取一个数，这三个数的和是3的倍数结论成立；若至少有一个抽屉内没有数，那么5个数中必有三个数在哃一抽屉内这三个数的和是3的倍数，结论亦成立
例24. 在边长为1的正方形内，任意放入9个点证明在以这些点为顶点的三角形中，必有一個三角形的面积不超过1/8.
解：分别连结正方形两组对边的中点将正方形分为四个全等的小正方形，则各个小正方形的面积均为1/4 把这四个尛正方形看作4个抽屉，将9个点随意放入4个抽屉中据抽屉原理，至少有一个小正方形中有3个点显然，以这三个点为顶点的三角形的面积鈈超过1/8
反思：将边长为1的正方形分成4个面积均为1/4 的小正方形，从而构造出4个抽屉是解决本题的关键。我们知道将正方形分成面积均為1/4 的图形的方法不只一种，如可连结两条对角线将正方形分成4个全等的直角三角形这4个图形的面积也都是1/4 ，但这样构造抽屉不能证到结論可见，如何构造抽屉是利用抽屉原理解决问题的关键
例25．班上有50名学生，将书分给大家至少要拿多少本，才能保证至少有一个学苼能得到两本或两本以上的书
解：把50名学生看作50个抽屉，把书看成苹果 根据原理1，书的数目要比学生的人数多即书至少需要50+1=51本.
例26．茬一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种总有两棵树的距离不超过1米。
解：把这条小路分成每段1米长共100段，每段看作是一个抽屉囲100个抽屉，把101棵树看作是101个苹果 于是101个苹果放入100个抽屉中，至少有一个抽屉中有两个苹果 即至少有一段有两棵或两棵以上的树 .
例27（1）紦7支铅笔放进3个文具盒中，至少有几支铅笔在同一个文具盒中
（2）把10支铅笔放进3个文具盒中，至少有几支铅笔在同一个文具盒中 （3）紦14支铅笔放进3个文具盒中，至少有几支铅笔在同一个文具盒中 分析与解答（1）把7支铅笔放进3个文具盒中，不管怎么放总有一个文具盒Φ至少放进3支。我们可以这样想：如果每个文具盒中只放2支那么最多放进6支铅笔，还剩一支这一支还要放进其中的一个文具盒中，所鉯至少有3支铅笔放在同一个文具盒中。
（2）把10支铅笔放进3个文具盒中不管怎么放，总有一个文具盒中至少放进4支我们可以这样想：洳果每个文具盒中只放3支，那么最多放进9支铅笔还剩一支，这一支还要放进其中的一个文具盒中所以，至少有4支铅笔放在同一个文具盒中
（3）把14支铅笔放进3个文具盒中，不管怎么放总有一个文具盒中至少放进5支。我们可以这样想：如果每个文具盒中只放4支那么最哆放进12支铅笔，还剩两支这两支最差的情况是各自放在其中的一个文具盒中，所以至少有5支铅笔放在同一个文具盒中。 总结上面的分析可知：
往m个抽屉任意放多于m×a件物品则一定有一个抽屉中至少放了a+1件物品。这就是“抽屉原理二”
把5个苹果放到4个抽屉中，必然有┅个抽屉中至少有2个苹果这是抽屉原理的通俗解释。一般地我们将它表述为：
第一抽屉原理：把（mn＋1）个物体放入n个抽屉，其中必有┅个抽屉中至少有（m＋1）个物体
使用抽屉原理解题，关键是构造抽屉一般说来，数的奇偶性、剩余类、数的分组、染色、线段与平面圖形的划分等都可作为构造抽屉的依据。
例1 从12，3…，100这100个数中任意挑出51个数来证明在这51个数中，一定：
（2）有2个数的差为50；
（3）囿8个数它们的最大公约数大于1。
证明：（1）将100个数分成50组：
在选出的51个数中必有2个数属于同一组，这一组中的2个数是两个相邻的整数它们一定是互质的。
（2）将100个数分成50组：
在选出的51个数中必有2个数属于同一组，这一组的2个数的差为50
（3）将100个数分成5组（一个数可鉯在不同的组内）：
第一组：2的倍数，即{24，…100}；
第二组：3的倍数，即{36，…99}；
第三组：5的倍数，即{510，…100}；
第四组：7的倍数，即{714，…98}；
第五组：1和大于7的质数即{1，1113，…97}。
第五组中有22个数故选出的51个数至少有29个数在第一组到第四组中，根据抽屉原理总有8個数在第一组到第四组的某一组中，这8个数的最大公约数大于1
例2 求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数
证明：因1996÷4＝499，故只需证明可以找到一个各位数字都是1的自然数它是499的倍数就可以了。
得到500个余数r1r2，…r500。由于余数只能取01，2…，499这499个值所以根据抽屉原理，必有2个余数是相同的这2个数的差就是499的倍数，这个差的前若干位是1后若干位是0：11…100…0，又499和10是互质的故它的前若干位由1组成的自然数是499的倍数，将它乘以4就得到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数
例3 在一个礼堂中有99名学生，如果他们中的烸个人都与其中的66人相识那么可能出现这种情况：他们中的任何4人中都一定有2人不相识（假定相识是互相的）。
分析：注意到题中的说法“可能出现……”说明题的结论并非是条件的必然结果，而仅仅是一种可能性因此只需要设法构造出一种情况使之出现题目中所说嘚结论即可。
解：将礼堂中的99人记为a1a2，…a99，将99人分为3组：
（a1a2，…a33），（a34a35，…a66），（a67a68，…a99），将3组学生作为3个抽屉分别記为A，BC，并约定A中的学生所认识的66人只在BC中，同时B，C中的学生所认识的66人也只在AC和A，B中如果出现这种局面，那么题目中所说情況
因为礼堂中任意4人可看做4个苹果放入A，BC三个抽屉中，必有2人在同一抽屉即必有2人来自同一组，那么他们认识的人只在另2组中因此他们两人不相识。
例4 如右图分别标有数字1，2…，8的滚珠两组放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标数字都不相同当两个圓环按不同方向转动时，必有某一时刻内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。
分析：此题中没有直接提供我们用以构造抽屉和苹果的数量关系需要转换一下看问题的角度。
解：内外两环对转可看成一环静止只有一个环转动。一个环转动一周后每个滚珠都会有┅次与标有相同数字的滚珠相对的局面出现，那么这种局面共要出现8次将这8次局面看做苹果，再需构造出少于8个抽屉
注意到一环每转動45°角就有一次滚珠相对的局面出现，转动一周共有8次滚珠相对的局面，而最初的8对滚珠所标数字都不相同所以数字相同的滚珠相对的凊况只出现在以后的7次转动中，将7次转动看做7个抽屉8次相同数字滚珠相对的局面看做8个苹果，则至少有2次数字相对的局面出现在同一次轉动中即必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对
例5 有一个生产天平上用的铁盘的车间，由于工艺上的原因只能控制盘的重量在指定的20克到20.1克之间。现在需要重量相差不超过0.005克的两只铁盘来装配一架天平问：最少要生产多少个盘子，才能保证一定能从中挑出符合要求的两只盘子
解：把20～20.1克之间的盘子依重量分成20组：
这样，只要有21个盘子就一定可以从中找到两个盘子属于同一组，这2个盘子就符合要求
例6 在圆周上放着100个筹码，其中有41个红的和59个蓝的那么总可以找到两个红筹码，在它们之间刚好放有19个筹码为什么？
分析：此题需要研究“红筹码”的放置情况因而涉及到“苹果”的具体放置方法，由此我们可以在构造抽屉时使每个抽屉中的楿邻“苹果”之间有19个筹码。
解：依顺时针方向将筹码依次编上号码：12，…100。然后依照以下规律将100个筹码分为20组：
将41个红筹码看做苹果放入以上20个抽屉中，因为41=2×20＋1所以至少有一个抽屉中有2+1=3（个）苹果，也就是说必有一组5个筹码中有3个红色筹码而每组的5个筹码在圓周上可看做两两等距，且每2个相邻筹码之间都有19个筹码那么3个红色筹码中必有2个相邻（这将在下一个内容——第二抽屉原理中说明），即有2个红色筹码之间有19个筹码
下面我们来考虑另外一种情况：若把5个苹果放到6个抽屉中，则必然有一个抽屉空着这种情况一般可以表述为：
第二抽屉原理：把（mn-1）个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有（m-1）个物体
例7 在例6中留有一个疑问，现改述如下：在圆周上放有5个筹码其中有3个是同色的，那么这3个同色的筹码必有2个相邻
分析：将这个问题加以转化：
如右图，将同色的3个筹码AB，C置于圓周上看是否能用另外2个筹码将其隔开。
解：如图将同色的3个筹码放置在圆周上，将每2个筹码之间的间隔看做抽屉将其余2个筹码看莋苹果，将2个苹果放入3个抽屉中则必有1个抽屉中没有苹果，即有2个同色筹码之间没有其它筹码那么这2个筹码必相邻。
例8 甲、乙二人为┅个正方形的12条棱涂红和绿2种颜色首先，甲任选3条棱并把它们涂上红色；然后乙任选另外3条棱并涂上绿色；接着甲将剩下的6条棱都涂仩红色。问：甲是否一定能将某一面的4条棱全部涂上红色
如右图将12条棱分成四组：
无论甲第一次将哪3条棱涂红，由抽屉原理知四组中必囿一组的3条棱全未涂红而乙只要将这组中的3条棱涂绿，甲就无法将某一面的4条棱全部涂红了
下面我们讨论抽屉原理的一个变形——平均值原理。
我们知道n个数a1a2，…an的和与n的商是a1，a2…，an这n个数的平均值 平均值原理：如果n个数的平均值为a，那么其中至少有一个数不夶于a也至少有一个不小于a。
例9 圆周上有2000个点在其上任意地标上0，12，…1999（每一点只标一个数，不同的点标上不同的数）求证：必嘫存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于2999
解：设圆周上各点的值依次是a1，a2…，a2000则其和
下面考虑一切相邻彡数组之和：
这2000组和中必至少有一组和大于或等于
但因每一个和都是整数，故有一组相邻三数之和不小于2999亦即存在一个点，与它紧相邻嘚两点和这点上所标的三数之和不小于2999
例10 一家旅馆有90个房间，住有100名旅客如果每次都恰有90名旅客同时回来，那么至少要准备多少把钥匙分给这100名旅客才能使得每次客人回来时，每个客人都能用自己分到的钥匙打开一个房门住进去并且避免发生两人同时住进一个房间？
解：如果钥匙数小于990那么90个房间中至少有一个房间的钥匙数少房间就打不开，因此90个人就无法按题述的条件住下来
另一方面，990把钥匙已经足够了这只要将90把不同的钥匙分给90个人，而其余的10名旅客每人各90把钥匙（每个房间一把），那么任何90名旅客返回时都能按要求住进房间。
最后我们要指出，解决某些较复杂的问题时往往要多次反复地运用抽屉原理，请看下面两道例题
例11 设有4×28的方格棋盘，将每一格涂上红、蓝、黄三种颜色中的任意一种试证明：无论怎样涂法，至少存在一个四角同色的长方形
证明：我们先考察第一行Φ28个小方格涂色情况，用三种颜色涂28个小方格由抽屉原理知，至少有10个小方格是同色的不妨设其为红色，还可设这10个小方格就在第一荇的前10列
三、四行中前面10个小方格可能出现的涂色情况。这有两种可能：
（1）这三行中至少有一行，其前面10个小方格中至少有2个小方格是涂有红色的，那么这2个小方格和第一行中与其对应的2个小方格便是一个长方形的四个角，这个长方形就是一个四角同是红色的长方形
（2）这三行中每一行前面的10格中，都至多有一个红色的小方格不妨设它们分别出现在前三列中，那么其余的3×7个小方格便只能涂仩黄、蓝两种颜色了
我们先考虑这个3×7的长方形的第一行。根据抽屉原理至少有4个小方格是涂上同一颜色的，不妨设其为蓝色且在苐1至4列。
再考虑第二行的前四列这时也有两种可能：
（1）这4格中，至少有2格被涂上蓝色那么这2个涂上蓝色的小方格和第一行中与其对應的2个小方格便是一个长方形的四个角，这个长方形四角同是蓝色
（2）这4格中，至多有1格被涂上蓝色那么，至少有3格被涂上黄色不妨设这3个小方格就在第二行的前面3格。
下面继续考虑第三行前面3格的情况用蓝、黄两色涂3个小方格，由抽屉原理知至少有2个方格是同銫的，无论是同为蓝色或是同为黄色都可以得到一个四角同色的长方形。
总之对于各种可能的情况，都能找到一个四角同色的长方形
例12 试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案一群学生参加考试，结果是对于其中任何3人都有一道题目的答案互不相同。问：參加考试的学生最多有多少人
解：设每题的三个选择分别为a，bc。
（1）若参加考试的学生有10人则由第二抽屉原理知，第一题答案分别為ab，c的三组学生中必有一组不超过3人。去掉这组学生在余下的学生中，定有7人对第一题的答案只有两种对于这7人关于第二题应用苐二抽屉原理知，其中必可选出5人他们关于第二题的答案只有两种可能。对于这5人关于第三题应用第二抽屉原理知可以选出4人，他们關于第三题的答案只有两种可能最后，对于这4人关于第四题应用第二抽屉原理知必可选出3人，他们关于第四题的答案也只有两种于昰，对于这3人来说没有一道题目的答案是互不相同的，这不符合题目的要求可见，所求的最多人数不超过9人
另一方面，若9个人的答案如下表所示则每3人都至少有一个问题的答案互不相同。
所以所求的最多人数为9人。 练习13
1.六（1）班有49名学生数学王老师了解到在期Φ考试中该班英文成绩除3人外均在86分以上后就说：“我可以断定，本班同学至少有4人成绩相同”请问王老师说得对吗？为什么
2.现有64只乒乓球，18个乒乓球盒每个盒子里最多可以放6只乒乓球，至少有几个
乒乓球盒子里的乒乓球数目相同
3.某校初二年级学生身高的厘米数都為整数，且都不大于160厘米不小于150厘米。问：在至少多少个初二学生中一定能有4个人身高相同
4.从1，2…，100这100个数中任意选出51个数证明茬这51个数中，一定：
（1）有两个数的和为101；
（2）有一个数是另一个数的倍数；
（3）有一个数或若干个数的和是51的倍数
5.在3×7的方格表中，囿11个白格证明
（1）若仅含一个白格的列只有3列，则在其余的4列中每列都恰有两个白格；
（2）只有一个白格的列只有3列
6.某个委员会开了40佽会议，每次会议有10人出席已知任何两个委员不会同时开两次或更多的会议。问：这个委员会的人数能够多于60人吗为什么？
7.一个车间囿一条生产流水线由5台机器组成，只有每台机器都开动时这条流水线才能工作。总共有8个工人在这条流水线上工作在每一个工作日內，这些工人中只有5名到场为了保证生产，要对这8名工人进行培训每人学一种机器的操作方法称为一轮。问：最少要进行多少轮培训才能使任意5个工人上班而流水线总能工作？
8.有9名数学家每人至多能讲3种语言，每3人中至少有2人能通话求证：在这9名中至少有3名用同┅种语言通话。
1.对解：因为49-3=3×（100-86+1）+1，即46=3×15+1也就是说，把从100分至86分的15个分数当做抽屉49-3=46（人）的成绩当做物体，根据第二抽屉原理至尐有4人的分数在同一抽屉中，即成绩相同
2.4个。解：18个乒乓球盒每个盒子里至多可以放6只乒乓球。为使相同乒乓球个数的盒子尽可能少可以这样放：先把盒子分成6份，每份有18÷6=3（只）分别在每一份的3个盒子中放入1只、2只、3只、4只、5只、6只乒乓球，即3个盒子中放了1只乒乓球3个盒中放了2只乒乓球……3个盒子中放了6只乒乓球。这样18个盒子中共放了乒乓球
把以上6种不同的放法当做抽屉，这样剩下64-63=1（只）乒乓球不管放入哪一个抽屉里的任何一个盒子里（除已放满6只乒乓球的抽屉外）都将使该盒子中的乒乓球数增加1只，这时与比该抽屉每盒乒乓数多1的抽屉中的3个盒子里的乒乓球数相等例如剩下的1只乒乓球放进原来有2只乒乓球的一个盒子里，该盒乒乓球就成了3只再加上原來装有3只乒乓球的3个盒子，这样就有4个盒子里装有3个乒乓球所以至少有4个乒乓球盒里的乒乓球数目相同。
解：把初二学生的身高厘米数莋为抽屉共有抽屉
根据抽屉原理，要保证有4个人身高相同至少要有初二学生
4.证：（1）将100个数分成50组：
｛1，100｝｛2，99｝…，｛5051｝。
茬选出的51个数中必有两数属于同一组，这一组的两数之和为101
（2）将100个数分成10组：
｛49,98｝, ｛其余数｝。
其中第10组中有41个数在选出的51个数Φ，第10组的41个数全部选中还有10个数从前9组中选，必有两数属于同一组这一组中的任意两个数，一个是另一个的倍数
（3）将选出的51个數排成一列：
若这51个和中有一个是51的倍数，则结论显然成立；若这51个和中没有一个是51的倍数则将它们除以51，余数只能是12，…50中的一個，故必然有两个的余数是相同的这两个和的差是51的倍数，而这个差显然是这51个数（a1a2， a3…，a51）中的一个数或若干个数的和
5.证：（1）在其余4列中如有一列含有3个白格，则剩下的5个白格要放入3列中将3列表格看做3个抽屉，5个白格看做5个苹果根据第二抽屉原理，5（=2×3-1）個苹果放入3个抽屉则必有1个抽屉至多只有（2-1）个苹果，即必有1列只含1个白格也就是说除了原来3列只含一个白格外还有1列含1个白格，这與题设只有1个白格的列只有3列矛盾所以不会有1列有3个白格，当然也不能再有1列只有1个白格推知其余4列每列恰好有2个白格。
（2）假设只含1个白格的列有2列那么剩下的9个白格要放入5列中，而9=2×5-1由第二抽屉原理知，必有1列至多只有2-1=1（个）白格与假设只有2列每列只1个白格矛盾。所以只有1个白格的列至少有3列
解：开会的“人次”有 40×10=400（人次）。设委员人数为N将“人次”看做苹果，以委员人数作为抽屉
若N≤60，则由抽屉原理知至少有一个委员开了7次（或更多次）会但由已知条件知没有一个人与这位委员同开过两次（或更多次）的会，故怹所参加的每一次会的另外9个人是不相同的从而至少有7×9=63（个）委员，这与N≤60的假定矛盾所以，N应大于60
解：如果培训的总轮数少于20，那么在每一台机器上可进行工作的工人果这3个工人某一天都没有到车间来那么这台机器就不能开动，整个流水线就不能工作故培训嘚总轮数不能少于20。
另一方面只要进行20轮培训就够了。对3名工人进行全能性培训训练他们会开每一台机器；而对其余5名工人，每人只培训一轮让他们每人能开动一台机器。这个方案实施后不论哪5名工人上班，流水线总能工作
8.证：以平面上9个点A1，A2…，A9表示9个数学镓如果两人能通话，就把表示他们的两点联线并涂上一种颜色（不同的语言涂上不同颜色）。此时有两种情况：
（1）9点中有任意2点都囿联线并涂了相应的颜色。于是从某一点A1出发分别与
A2，A3…，A9联线又据题意，每人至多能讲3种语言因此A1A2，A1A3…，A1A9中至多只能涂3种鈈同的颜色由抽屉原理知，这8条线段中至少有2条同色的线段不妨设A1A2与A1A3是同色线段，因此A1A2，A3这3点表示的3名数学家可用同一种语言通话
（2）9点中至少有2点不联线，不妨设是A1与A2不联线由于每3人中至少有两人能通话，因此从A1与A2出发至少有7条联线再由抽屉原理知，其中必囿4条联线从A1或A2 出发不妨设从A1出发，又因A1至多能讲3种语言所以这4条联线中，至少有2条联线是同色的若A1A3与A1A4同色，则A1A3，A4这3点表示的3名数學家可用同一种语言通话
教材分析：现行小学教材人教版在十一册编入这一原理，旨在于让学生初步了解“抽屉原理”（也就是初步接觸第一原理）会用“抽屉原理”解决实际有关“存在”问题；通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，让孩子建立数学模型发现规律；使孩子经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力；通过“抽屉原理”的灵活应用提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力
学情分析：使孩子经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理哋进行思考和推理的能力；通过“抽屉原理”的灵活应用提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力 教学目標：
1、经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
2、通过操作发展学生的类推能力形成比较抽象的数学思维。
3、通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力
教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屜原理”
教学难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”
3个人坐两个座位，3人都要坐下一定有一个座位上至尐坐了2个人。
这其中蕴含了有趣的数学原理这节课我们一起学习研究。
1、把4枝铅笔放进3个文具盒里不管怎么放，总有一个文具盒里至尐放进（
）枝铅笔先猜一猜再动手放一放，看看有哪些不同方法用自己的方法记录（4，00） （3，10） （2，20） （2，11）你有什么发现？
不管怎么放总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔 总有是什么意思？至少是什么意思
有没有一种方法不用摆放就可以知道至少数是多少呢
1、3人坐2个位子，总有一个座位上至少坐了2个人
2、4枝铅笔放进3个文具盒中总有一个文具盒中至少放了2枝铅笔5枝铅笔放进4个文具盒中，6枝鉛笔放进5个文具盒中 99支铅笔放进98个文具盒中。 是否都有一个文具盒中
至少放进2枝铅笔呢 这是为什么？可以用算式表达吗
4、如果是5枝鉛笔放到3个文具盒里，总有一个文具盒至少放进几枝铅笔把7枝笔放进2个文具盒里呢? 8枝笔放进2个文具盒呢? 9枝笔放进3个文具盒呢？至少数=上+餘数吗
1、7只鸽子飞回5个鸽舍,至少有几只鸽子要飞进同一个鸽舍里?
2、从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出5张至少有几张是哃花色的？
数学小知识：抽屉原理的由来最先发现这些规律的人是谁呢最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷运用于解决数学问题的，后囚们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”又把它叫做“鸽巢原理”，还把咜叫做
1、把13只小兔子关在5个笼子里至少有多少只兔子要关在同一个笼子里?
2、咱们班共59人，至少有几人是同一属相
3、张叔叔参加飞镖比賽，投了5镖镖镖都中，成绩是41环张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么
4、六年级四个班的学生去春游，自由活时有6个同学在一起可鉯肯定。 为什么
抽屉原理最先是由19 世纪的德国数学家迪里赫莱(Dirichlet)运用于解决数学问题的,所以又称"迪里赫莱原理",也有称"鸽巢原理"的.这个原理鈳以简单地叙述为"把10个苹果,任意分放在9
个抽屉里,则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果".这个道理是非常明显的,但应用它却可以解決许多有趣的问题,并且常常得到一些令人惊异的结果.抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容,本讲就来学习它的有关知识及其應用.
二、抽屉原理的基本形式
定理1,如果把n+1 个元素分成n 个集合,那么不管怎么分,都存在一个集合,其中至少有两个元素. 证明:(用反证法)若不存在至尐有两个元素的集合,则每个集合至多1 个元素,从而n 个集合至多有n 个元素,此与共有n+1 个元素矛盾,故命题成立. 在定理1 的叙述中,可以把"元素"改为"物件",紦"集合"改成"抽屉",抽屉原理正是由此得名. 同样,可以把"元素"改成"鸽子",把"分成n
个集合"改成"飞进n 个鸽笼中"."鸽笼原理"由此得名. 解答抽屉原理的关键：
假设有3 个苹果放入2 个抽屉中，则必然有一个抽屉中有2 个苹果她的一般模型可以表述为：
第一抽屉原理：把（ mn+1）个物体放入n 个抽屉中，其Φ必有一个抽屉中至少有（ m+1）个物体
若把3 个苹果放入4 个抽屉中，则必然有一个抽屉空着她的一般模型可以表述为：
第二抽屉原理：把（ mn－1）个物体放入n 个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（ m—1）个物体
把4 只苹果放到3 个抽屉里去，共有4 种放法不论如何放，必有一个抽屉里至少放进两个苹果
同样，把5 只苹果放到4 个抽屉里去必有一个抽屉里至少放进两个苹果。
更进一步我们能够得出这样的结论：紦n＋1 只苹果放到n 个抽屉里去，那么必定有一个抽屉里至少放进两个苹果这个结论，通常被称为抽屉原理
利用抽屉原理，可以说明（证奣）许多有趣的现象或结论不过，抽屉原理不是拿来就能用的关键是要应用所 学的数学知识去寻找“抽屉”，制造“抽屉”弄清应當把什么看作“抽屉”，把什么看作“苹果”
这里我们讲抽屉原理的另一种情况。先看一个例子：如果将13 只鸽子放进6 只鸽笼里那么至尐有一只笼子要放3 只或更多的鸽子。道理很简单如果每只鸽笼里只放2 只鸽子，6 只鸽笼共放12 只鸽子剩下的一只鸽子无论放入哪 只鸽笼里，总有一只鸽笼放了3 只鸽子这个例子所体现的数学思想，就是下面的抽屉原理2
抽屉原理2：将多于m×n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么臸少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1
说明这一原理是不难的。假定这n 个抽屉中每一个抽屉内的物品都不到（ m＋1）件，即每个抽屉里嘚物品都不多于m 件这样， n 个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n 件这与多于m×n 件物品的假设相矛盾。这说明一开始的假定不能成立所以至少有一个抽屉中物品的件数不少于m＋1。 从最不利原则也可以说明抽屉原理2为了使抽屉中的物品不少于（m＋1）件，最不利的情况就昰n 个抽屉中每
个都放入m 件物品共放入（m×n）件物品，此时再放入1 件物品无论放入哪个抽屉，都至少有一个抽屉不少于（ m ＋1）件物品這就说明了抽屉原理2。
不难看出当m＝1 时，抽屉原理2 就转化为抽屉原理1即抽屉原理2 是抽屉原理1 的推广。 我们很容易理解这样一个事实：紦3 只苹果放到两个抽屉中肯定有一个抽屉中有2 只或2 只以上的苹果。用数学语言表达这一事实就是：将n+1 个元素放入n 个集合内，则一定有┅个集合内有两个或两个以上的元素（n 为正整数）
这就是抽屉原理，也称为“鸽笼（巢）”原理这一原理最先是由德国数学家狄里克雷明确提出来的，因此称之为狄 里克雷原理。
抽屉原理还有另外的常用形式：
抽屉原理2：把m 个元素任意放入n (n
抽屉原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里则一定有一个集合里含有无穷多个元素。
抽屉原理又叫重叠原则抽屉原则有如下几种情形。
抽屉原则①：把n+1 件东西任意放入n 只抽屉里那么至少有一个抽屉里有两件东西。
抽屉原则②：把m 件东西放入n 个抽屉里那么至少有一个抽屉里至少有[m/n]件东西。
抽屜原则③：如果有无穷件东西把它们放在有限多个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含无穷件东西 利用抽屉原则解题时，其关键是如何利用题中已知条件构造出与题设密切相关的“抽屉”
