历年中考真题（数学）2020年衡阳中考试题
word版（可编辑）（含详细答案）2019年衡阳中考试题
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word版（可编辑）（含详细答案）湖南省衡阳市2020年中考数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.－3相反数是（
）A. 3 B. －3 C.
D.【答案】A【解析】【分析】根据相反数的定义可得答案．【详解】解：的相反数是故选A．【点睛】本题考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2.下列各式中，计算正确的是（
）A.
B.
C.
D.【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方法则、同底数幂的乘方法则依次判断即可【详解】A．和不是同类项，不能合并，此选项错误；B．和不是同类项，不能合并，此选项错误；C．，此选项错误；D．，此选项正确，故选：D．【点睛】本题考查同类项合并、同底数幂的乘法、幂的乘方，根据法则计算是解答的关键．3.2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（
）A.
B.
C.
D.【答案】A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】1.2亿=120000000=1.2×108．故选：A．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.下列各式中正确的是（
）A.
B.
C.
D.【答案】D【解析】【分析】根据绝对值、算术平方根、立方根、零次幂的知识对逐项排除即可．【详解】解：A. ，故A 选项错误；B. ，故B 选项错误；C ，故B 选项错误；D. ，故D 选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、立方根、零次幂的相关知识，掌握这些基础知识是解答本题的关键．5.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）A.
B.
C.
D.【答案】C【解析】【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6.要使分式有意义，则的取值范围是（
）A.
B.
C.
D.【答案】B【解析】【分析】根据分式有意义的条件即可解答．【详解】根据题意可知，，即．故选：B．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为0是解决问题的关键．7.如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（
）A. AB∥DC,AB=DC B. AB=DC,AD=BCC. AB∥DC,AD=BC D. OA=OC,OB=OD【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的判定方法逐项分析即可.【详解】A. ∵ AB∥DC,AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形；B. ∵ AB=DC,AD=BC，∴四边形ABCD平行四边形；C.等腰梯形ABCD满足 AB∥DC,AD=BC，但四边形ABCD是平行四边形；D. OA=OC,OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形；故选C.【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.8.下列不是三棱柱展开图的是（　　）A.
B.C.
D.【答案】C【解析】【分析】根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．【详解】解：A、B、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．C围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故C不能围成三棱柱．故选C．【点睛】本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．9.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（
）A.
B.C.
D.【答案】C【解析】【分析】首先解不等式组，然后在数轴上表示出来即可判断．【详解】解：，解①得：x≤1，解②得：x＞-2，则不等式组的解集是：?2＜x≤1．在数轴上表示为：故选：C．【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集和在数轴上表示解集，分别求出每个不等式的解，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”找出解集．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．10.反比例函数经过点，则下列说法错误的是（
）A.
B. 函数图象分布在第一、三象限C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小【答案】C【解析】【分析】将点（2,1）代入中求出k值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可．【详解】将点（2,1）代入中，解得：k=2，A．k=2，此说法正确，不符合题意；B．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意；C．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法错误，符合题意；D．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，理解函数图象上的点与解析式的关系是解答的关键．11.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（
）A.
B.C.
D.【答案】C【解析】【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．【详解】解：如图，设小道的宽为，则种植部分的长为，宽为由题意得：．故选C．【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键．12.如图1，在平面直角坐标系中，在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移．在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示．那么的面积为（
）A. 3 B.
C. 6 D.【答案】B【解析】【分析】根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A；当移动距离是6时，直线经过B，在移动距离是7时经过D，则AD=7-4=3，当直线经过D点，设交BC与N.则DN=2，作DM⊥AB于点M.利用三角函数即可求得DM即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．【详解】解：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A当移动距离是6时，直线经过B当移动距离是7时经过D，则AD=7-4=3如图：设交BC与N，则DN=2，作DM⊥AB于点M，∵移动直线为y=x∴∠NDM=45°∴DM=cos∠NDM·ND=∴的面积为AD×DM=3×=3．故答案为B．【点睛】本题考查了平移变换、解直角三角形等知识，其中根据平移变换确定AD的长是解答本题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13.因式分解：__________．【答案】a(a+1)【解析】【分析】提取a即可因式分解.【详解】 a(a+1)故填：a(a+1).【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法因式分解.14.计算：_________．【答案】1【解析】【分析】根据分式的四则混合运算法则计算即可．【详解】解：．故答案为1．【点睛】本题考查了分式的四则混合运算的法则，掌握分式四则混合运算法则是解答本题的关键．15.已知一个边形的每一个外角都为30°，则等于_________．【答案】12【解析】【分析】根据多边形的外角和是360°求出多边形的边数即可．【详解】解：360°÷30°=12．故答案为12．【点睛】本题考查了多边形外角和特征，掌握多边形外角和为360°是解答本题的关键．16.一副三角板如图摆放，且，则∠1的度数为_________．【答案】【解析】【分析】如图，把顶点标注字母，由平行线的性质求解,再利用三角形的外角的性质可得答案．【详解】解：如图，把顶点标注字母，故答案为：【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．17.某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有_________名．【答案】23【解析】【分析】关系式为：男生人数+女生人数=52，男生人数=2×女生人数-17．把相关数值代入即可求解．【详解】设男生人数为x人，女生人数为y人．由此可得方程组．解得，所以，男生有29人，女生有23人，故答案为：23．【点睛】本题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识，解答本题的关键是仔细审题得到等量关系，根据等量关系建立方程．18.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标，将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段绕点按顺时针方向旋转45°，长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段、，……，（为正整数），则点的坐标是_________．【答案】（0，-22019）【解析】【分析】根据题意得出OP1=1，OP2=2，OP3=4，如此下去，得到线段OP3=4=22，OP4=8=23…，OPn=2n-1，再利用旋转角度得出点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，进而得出答案．【详解】解：∵点P1的坐标为，将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP1；∴OP1=1，OP2=2，∴OP3=4，如此下去，得到线段OP4=23，OP5=24…，∴OPn=2n-1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2020÷8=252…4，∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴负半轴上，∴点P2020的坐标是（0，-22019）．故答案为：（0，-22019）．【点睛】此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点P2014的坐标与点P6的坐标在同一直线上是解题关键．三、解答题（本大题共8个小题，19~20题每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19.化简：．【答案】【解析】【分析】根据整式的四则混合运算法则以及平方差公式解答即可．【详解】解：==．【点睛】本题考查了整式的四则混合运算、平方差公式等知识，灵活运用整式的四则混合运算法则是解答本题的关键．20.一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．（1）求的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率，请用画树状图或列表的方法进行说明．【答案】（1）1；（2）．【解析】【分析】（1）根据概率公式列方程求解即可；（2）先画出树状图确定所有情况数和所求情况数，然后再运用概率公式求解即可．【详解】解：（1）由题意得 ，解得n=1；（2）根据题意画出树状图如下： 所以共有9种情况，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种情况，则 两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．【点睛】本题考查了概率公式的运用和利用树状图求概率，根据概率公式列方程和正确画出树状图是解答本题的关键．21.如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为点、．（1）求证：；（2）若，求的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）=80°【解析】【分析】（1）利用已知条件和等腰三角形的性质证明，根据全等三角形的性质即可证明；（2）根据三角形内角和定理得∠B=50°，所以∠C=50°，在△ABC中利用三角形内角和定理即可求解．【详解】解：（1）证明：∵点D为BC的中点，∴BD=CD，∵，，∴∠DEB=∠DFC=90°在△BDE和△CDF中，∴，∴．（2）∵∴∠B=180°-（∠BDE+∠BED）=50°，∴∠C=50°，在△ABC中，=180°-（∠B+∠C）=80°，故=80°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质并灵活应用是解题的关键．22.病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：，，，，，．）根据以上信息回答问题：（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）【答案】（1）补图见解析；（2）；（3）1.2万人．【解析】【分析】（1）根据总数等于各组频数之和即可求出“”组得频数，进而补全频数分布直方图；（2）由频数直方图可得“”的频数为3，再将360°乘以该组所占比例即可；（3）根据样本估计总体，可得到90后”大约有1.2万人．【详解】解：（1）“”组得频数为：30-3-10-10-2-1=4，补全频数分布直方图如图．（2）由频数直方图可知支援武汉的医务人员在“”之间的有3个，所占百分比为：，故其所占圆心角度数=．（3）支援湖北省的全体医务人员“90后”大约有（万人），故：支援湖北省的全体医务人员“90后”大约有1.万人．【点睛】本题考查了频数（率）分布直方图和扇形统计图的综合运用及样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．频数分布直方图可以清楚地看出落在各组的频数，各组的频数和等于总数．23.小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当是示屏的边缘线与底板的边缘线所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点、、在同一直线上，，，．（1）求的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持120°，求点到的距离．（结果保留根号）【答案】（1）12cm；（2）点到的距离为（12+12）cm．【解析】【分析】（1）在Rt△AOC中，由30度角所对的直角边长度是斜边的一半求解即可；（2）过点O作OM∥AC，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E，交OM于点D，B′E即为点到的距离，根据题意求出∠OB′D=30°，四边形OCED为矩形，根据B′E=B′D+DE求解即可．【详解】解：（1）∵，，∴．即OC的长度为12cm．（2）如图，过点O作OM∥AC，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E，交OM于点D，B′E即为点到的距离，∵OM∥AC，B′E⊥AC，∴B′E⊥OD，∵MN∥AC，∴∠NOA=∠OAC=30°，∵∠AOB=120°，∴∠NOB=90°，∵∠NOB′=120°，∴∠BOB′=120°-90°=30°，∵BC⊥AC，B′E⊥AE，MN∥AE，∴BC∥B′E，四边形OCED矩形，∴∠OB′D=∠BOB′=30°，DE=OC=12cm，在Rt△B′OD中，∵∠OB′D=30°，B′O=BO=24cm，∴B′D= ，B′E=B′D+DE= ，答：点到的距离为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定和性质和直角三角形中30度角所对的直角边长度是斜边的一半，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24.如图，在中，，平分交于点，过点和点的圆，圆心在线段上，交于点，交于点．（1）判断与的位置关系，并说明理由；（2）若，，求长．【答案】（1）与相切．证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义证明结合等腰三角形的性质证明从而证明结合可得答案；（2）连接，先利用勾股定理求解的长，再证明 利用相似三角形的性质列方程组求解即可得到答案．【详解】解：（1）与相切．理由如下：如图，连接，平分，在上，是的切线．（2）连接为的直径，，，解得：所以：的长为：【点睛】本题考查的切线的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．25.在平面直角坐标系中，关于的二次函数的图象过点，．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当时，的最大值与最小值的差；（3）一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，且，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法将点，代入解析式中解方程组即可；（2）根据（1）中函数关系式得到对称轴，从而知在中，当x=-2时，y有最大值，当时，y有最小值，求之相减即可；（3）根据两函数相交可得出x与m的函数关系式，根据有两个交点可得出>0，根据根与系数的关系可得出a，b的值，然后根据，整理得出m的取值范围．【详解】解：（1）∵的图象过点，，∴解得∴（2）由（1）得，二次函数对称轴为∴当时，y的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,y的最小值为∴的最大值与最小值的差为；（3）由题意及（1）得整理得即∵一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，∴化简得即解得m≠5∴a，b为方程的两个解又∵∴a=-1，b=4-m即4-m>3∴m<1综上所述，m的取值范围为．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质．26.如图1，平面直角坐标系中，等腰的底边在轴上，，顶点在的正半轴上，，一动点从出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达的中点停止．另一动点从点出发，以相同的速度沿向左运动，到达点停止．已知点、同时出发，以为边作正方形，使正方形和在的同侧．设运动的时间为秒（）．（1）当点落在边上时，求的值；（2）设正方形与重叠面积为，请问是存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取的中点，连结，当点、开始运动时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，到达点停止运动．请问在点的整个运动过程中，点可能在正方形内（含边界）吗？如果可能，求出点在正方形内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．【答案】（1）t=1；（2）存在，，理由见解析；（3）可能，或或理由见解析【解析】【分析】（1）用待定系数法求出直线AC的解析式，根据题意用t表示出点H的坐标，代入求解即可；（2）根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为，故t﹥4,用待定系数法求出直线AB的解析式，求出点H落在BC边上时的t值，求出此时重叠面积为﹤，进一步求出重叠面积关于t的表达式，代入解t的方程即可解得t值；（3）由已知求得点D（2，1），AC=，OD=OC=OA=,结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．【详解】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，设直线AC的函数解析式为y=kx+b，将点A、C坐标代入，得：，解得：，∴直线AC的函数解析式为，当点落在边上时，点E(3-t，0)，点H（3-t，1），将点H代入，得：，解得：t=1；（2）存在，，使得．根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为，故t﹥4，设直线AB的函数解析式为y=mx+n，将点A、B坐标代入，得：，解得：，∴直线AC的函数解析式为，当t﹥4时，点E（3-t，0）点H（3-t，t-3），G(0，t-3)，当点H落在AB边上时，将点H代入，得：，解得：；此时重叠的面积为，∵﹤，∴﹤t﹤5，如图1，设GH交AB于S，EH交AB于T,将y=t-3代入得：，解得：x=2t-10，∴点S(2t-10，t-3)，将x=3-t代入得：，∴点T，∴AG=5-t，SG=10-2t，BE=7-t，ET=，,所以重叠面积S==4–=，由=得：，﹥5(舍去)，∴；（3）可能，≤t≤1或t=4．∵点D为AC的中点，且OA=2,OC=4，∴点D（2，1），AC=，OD=OC=OA=,易知M点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；当0﹤t﹤时，M在线段OD上，H未到达D点，所以M与正方形不相遇；当﹤t﹤1时， +÷（1+4）=秒，∴时M与正方形相遇，经过1÷（1+4）=秒后，M点不在正方行内部，则；当t=1时，由（1）知，点F运动到原E点处，M点到达C处；当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=秒时，点M追上G点，经过1÷（4-1）=秒，点都在正方形内（含边界），当t=2时，点M运动返回到点O处停止运动，当 t=3时，点E运动返回到点O处, 当 t=4时，点F运动返回到点O处,当时，点都在正方形内（含边界），综上，当或或时，点可能在正方形内（含边界）．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．2019年衡阳市初中学业水平考试试卷数学{题型:1-选择题}一、选择题（本大题共 12个小题，每小题3分，满分36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要的.）{题目}1.(2019衡阳， T1）的绝对值是（
）A.
B.
C.
D.{答案}B{解析}本题考查了绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，而的相反数是，因此本题选B．{分值}3{章节:[1-1-2-4]绝对值}{考点:绝对值的性质}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}2.(2019衡阳,T2）如果分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（
）A.x≠-1
B.x＞-1
C.全体实数
D.x=-1{答案}A{解析}本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件：分母不为零，因此x+1≠0，解得x≠-1，因此本题选A．{分值}3{章节:[1-15-1]分式}{考点:分式的意义}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}3.(2019衡阳,T3）2018年6月4日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球65000公里的地月拉格朗日12点Halo使命轨道，称为世界首颗运行在地月12点Halo轨道的卫星，用科学记数法表示65000公里为_______公里.(
)A.0.65×
B.65×
C.6.5×
D.6.5×{答案}C{解析}本题考查了利用科学记数法表示绝对值大于1的实数，根据科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10.若用科学记数法表示绝对值较大的数，则n的值等于该数的整数位数减去1，则a＝6.5，n＝5－1＝5，故65 000＝6.5×，因此本题选C．{分值}3{章节:[1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:2-简单}{题目}4．(2019衡阳,T4）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（
）A.
B.
C.
D.{答案}D{解析}本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，A项中的图形是轴对称图形，B项中的图形是轴对称图形，C项中的图形是轴对称图形，D项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的，因此本题选D．{分值}3{章节:[1-13-1-1]轴对称}{章节:[1-23-2-2]中心对称图形}{考点:轴对称图形}{考点:中心对称图形}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}5.(2019衡阳,T5）下列各式中，计算正确的是（
）A.8a-3b=5ab
B.
C.
D.{答案}B{解析}本题考查了整式的运算，A项中不是同类项，不能进行合并；B项中的结果应为；C项中结果应为，因此本题选D．{分值}3{章节:[1-2-2]整式的加减}{章节:[1-14-1]整式的乘法}{考点:整式加减}{考点:幂的乘方}{考点:同底数幂的除法}{考点:同底数幂的乘法}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}6.(2019衡阳,T6）如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED=40°，则∠A的度数是（
）A.40°
B.50°
C.80°
D.90°{答案}B{解析}本题考查了平行线的性质，垂直的定义，由垂直的定义可得∠AEB=90°，∵∠BED=40°，∴∠DEF=180°-∠AEB-∠BED=180°-90°-40°=50°.∵AB∥CD，∴∠A=∠DEF=50°，因此本题选B．{分值}3{章节:[1-5-1-2]垂线},{章节:[1-5-3]平行线的性质}{考点:垂线定义},{考点:两直线平行同位角相等}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}7.(2019衡阳,T7）某校5名同学在“国学经典诵读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86,95,97,90,88,这组数据的中位数是（
）A.97
B.90
C.95
D.88{答案}B{解析}本题考查了中位数的确定，本组5个数据中按照“从小到大或从大到小”的顺序排列后可以发现90位于数据在中间，所以中位数是90，因此本题选．{分值}3{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}{考点:中位数}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:2-简单}{题目}8.(2019衡阳,T8）下列命题是假命题的是（
）A.n边形（n≥3）的外角和是360°B.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C.相等的角是对顶角D.矩形的对角线互相平分且相等{答案}C{解析}本题考查了命题的真、假的判定，多边形的内角和、线段垂直平分线的性质、对顶角、矩形的性质，C项中相等的角不一定是对顶角，所以不一定正确，所以是假命题，因此本题选C．{分值}3{章节:[1-18-2-1]矩形}{考点:矩形的性质}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}(2019衡阳,T9）不等式组的整数解是（
）A.0
B.-1
C.-2
D.1{答案}B{解析}本题考查了解不等式组和整数解的确定，解不等式2x＞3x得x＜0，解不等式x+4＞2得x＞-2，∴不等式组的解集为-2＜x＜0，∵x为整数，∴x=-1，因此本题选B．{分值}3{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}{考点:一元一次不等式组的整数解}{类别:常考题}{类别:易错题}{{难度:3-中等难度}{题目}10.(2019衡阳,T10）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2016年底有贫困人口9万人，通关社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x,根据题意列方程得（
）A.9（1-2x）=1
B.9=1
C.9(1+2x)=1
D.9=1{答案}B{解析}本题考查了一元二次方程的应用，题目中“从2016年底到2018年底”共计2年，由于是考察的是下降率，所以套用公式a(1-x)2＝b即可得出9=1 ，因此本题选B．{分值}3{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}{考点:一元二次方程的应用—增长率问题}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:3-中等难度}{题目}11.(2019衡阳,T11）如图，一次函数（k≠0）的图象与反比例函数（m为常数且m≠0）的图象都经过A(-1,2),B(2,-1),结合图象，则不等式＞的解集是（
）A.x＜-1
B.-1＜x＜0
C.x＜-1或0＜x＜2
D.-1＜x＜0或x＞2{答案}C{解析}本题考查了一次函数、反比例函数图象和不等式，通过观察图象可以发现当x＜-1或0＜x＜2 时，一次函数的图象在反比例函数的上方，即不等式＞的解集是x＜-1或0＜x＜2，因此本题选C．{分值}3{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}{考点:反比例函数与一次函数的综合}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:3-中等难度}{题目}12.(2019衡阳,T12）如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为 t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S，则S关于t的函数图象大致为（
）{答案}C{解析}本题考查了等腰三角形、正方形、二次函数的图象，点的运动，设AC=BC=2cm，四边形运动的速度为1cm/s，由题意易得四边形CDEF是正方形，且边长为1cm，本题分两种情况考虑：（1）如图1，当点D在CA上，此时△EE′G是等腰直角三角形，EE′=E′G=tcm，此时四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S=4-，函数图象是二次函数图象，开口向下；（2）如图2，点D在CA的延长线上时，此时△AC′G是等腰直角三角形，AC′=GC′=（2-t）cm，此时四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S=，函数图象是二次函数图象，开口向上.因此本题选C．图1
图2{分值}3{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}{考点:几何选择压轴}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:4-较高难度}{题型:2-填空题}二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）{题目}13.(2019衡阳，T13）因式分解：=_________.{答案}2(a+2)(a-2){解析}本题考查了整式的因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解，所以=2(a+2)(a-2)．{分值}3{章节:[1-14-3]因式分解}{考点:因式分解－提公因式法}{考点:因式分解－平方差}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:2-简单}{题目}14．(2019衡阳,T14）在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别.若从该布袋里任意摸出一个球，该球是黄球的概率为，则a等于________.{答案}5{解析}本题考查了概率的计算，由题意可得P（黄球）=，解得a=5，因此填5．{分值}3{章节:[1-25-1-2]概率}{考点:概率的意义}{类别:常考题}难度:2-简单}{题目}15.(2019衡阳，T15）=_________.{答案}{解析}本题考查了二次根式的减法运算，原式==，因此本题填．{分值}3{章节:[1-16-3]二次根式的加减}{考点:二次根式的加减法}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}16.(2019衡阳,T16）计算：=___________.{答案}1{解析}本题考查了分式的加减，原式=，因此本题填1．{分值}3{章节:[1-15-2-2]分式的加减}{考点:两个分式的加减}{类别:常考题}{类别:易错题}{类别:新定义}{难度:2-简单}{题目}17.(2019衡阳,T17）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是_______.{答案}{解析}本题考查了与圆的有关计算中圆内接三角形的计算，如图所示，⊙O的半径是6，△ABC是⊙O的内接正三角形，连接OA，过O作OD⊥AB于D，由题意可得OA=6，∠OAD=30°，在Rt△ADO中，OD=OA=3，由勾股定理可得AD=，由垂径定理的性质可得AB=2AD=，因此本题填．{分值}3{章节:[1-24-3]正多边形和圆}{考点:正多边形和圆}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}18.(2019衡阳,18）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，已知A点坐标为（1,1），过点A作∥x轴交抛物线于点,过点作∥OA交抛物线于点，过点作∥x轴交抛物线于点,过点作∥OA交抛物线于点……，依次进行下去，则点的坐标为_________.{答案}{解析}本题考查了二次函数图象与性质、三角形的全等、平行线的性质、点的坐标的规律探索，把点A（1,1）代入，解得a=1,因此二次函数解析式为，如图所示，设、、、与y轴的交点分别为B、C、D、E，由二次函数的图象关于y轴对称，∴点的坐标为（-1,1），AB=,,⊥y轴，⊥y轴，∵∥OA，∴∠AOB=,∴∠ABO=,∴△ABO≌△，∴CB=OB=1，∴点C的坐标为（0,2）.设所在的直线为y=kx+b，∴，∴y=x+2,与二次函数建立方程组可得，解得，当x=2时，y=4,∴点的坐标为（2,4）,点的坐标为（-2,4），点D的坐标为（4,0）.同理可得△≌△,∴点E的坐标为（6,0），所在的直线为y=x+6,同理可得的坐标为（3,9），的坐标为（-3,9）.依次类推可得：当n为偶数时，其坐标为（，）；当n为奇数时，其坐标为（-，）.∴当n=2019时，其坐标为，因此本题填．{分值}3{章节:[1-22-1-2]二次函数y=ax2的图象和性质}{章节:[1-5-3]平行线的性质}{章节:[1-12-1]全等三角形}{章节:[1-19-2-2]一次函数}{考点:二次函数y=ax2的性质}{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}{考点:代数选择压轴}{考点:几何选择压轴}{类别:发现探究}{类别:易错题}{难度:4-较高难度}{题型:4-解答题}三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）{题目}19.(2019衡阳，T19）（本小题满分6分）+tan60°-.{解析}本题考查了特殊角的三角函数值与实数的运算，直接根据特殊角的三角函数值和有关实数的运算法则进行计算即可．{答案}解：原式=.{分值}6{章节:[1-28-3]锐角三角函数}{难度:2-简单}{类别:常考题}{类别:易错题}{类别:新定义}{考点:特殊角的三角函数值}{题目}20.(2019衡阳,T20）(本小题满分6分）某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”的活动，推出了以下四种选修课程：A.绘画；B.唱歌；C.演讲；D.十字绣.学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程.学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）这次学校抽查的学生人数是________；（2）将条形统计图补充完整；（3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？{解析}本题考查了条形统计图和扇形统计图、样本估计总体.(1)根据条形统计图中“A”对应的数据是“12”和扇形统计图对应的“30%”，12÷30%=40，即是此次抽查的学生人数；（2）利用（1）中求出的30-12-14-4=10，即是“C”对应的数据，然后补全条形统计图；（3）根据样本中喜欢“D”的百分比，然后乘以1000，即可得出结果.{答案}解：(1)40；(2)如图：（3）解：.故该校1000人中报D约有100人{分值}6{章节:[1-10-1]统计调查}{难度:2-简单}{类别:常考题}{考点:扇形统计图}{考点:条形统计图}{题目}21.(2019衡阳，T21）（本小题满分8分）关于x的一元二次方程有实数根.(1)求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程一个相同的根，求此时m的值.{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的根.（1）由根的判别式可得关于k的一元一次不等式，然后求解即可；（2）利用（1）中求出的k的取值范围，根据要求确定k的最大整数值后代入得出方程的两个根，再分别代入一元二次方程求出m的值，同时要保证m-1≠0.{答案}解：(1)由一元二次方程有实根，则判别式；(2)由（1）可得k的最大整数为2，把k代入得方程，解得该方程的根为1和2.由方程与一元二次方程有一个相同根，则即或，即；当时，不合题意，故.{分值}8{章节:[1-21-2-2]公式法}{难度:4-较高难度}{类别:常考题}{类别:易错题}{考点:根的判别式}{题目}22.(2019衡阳，T22）（本小题满分8分）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测定楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°.已知坡面CD=10米，山坡的坡度i=1：（坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB高度.（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）{解析}本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是通过直角三角形中的的特殊角得出边之间的关系和利用坡比进行简单的计算，然后作将有关数据转化解三角形的知识进行解答．{答案}解：设楼房AB的高为x米，则EB，由坡度则坡面CD的铅直高度为5米，坡面的水平宽度为米，所以，解得米.{分值}8{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}}{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}{题目}23.(2019衡阳，T23）（本小题满分8分）如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA的延长线于点D.连接BC,且∠BCA=∠OAC=30°.(1)求证：BD是⊙O的切线；（2）求图中阴影部分的面积.{解析}本题考查了圆周角和圆心角之间的关系、圆的切线的判定和性质、平行线的性质、直角三角形的性质、扇形面积的计算.（1）连接OB，交AC于点E，易得∠AOB=60°，∠AEO=90°，然后根据平行线的性质可得∠DBO=90°，即可证明结论；（2）由（1）可得△DBO是直角三角形，然后利用△DBO的面积减去扇形AOB的面积，就可以得出阴影部分的面积.{答案}解：(1)证明：如图，连接OB交AC于E，由，在?AOE中，∠OAC=30°，∴∠OEA=90°，，所以，而B在圆上，所以BD为圆的切线；（2）由（1）可得△OBD是直角三角形，∴∠D=30°，∴OD=16，由勾股定理可得BD=.因此?OBD的面积为，扇形OAB的面积为，所以阴影部分的面积为.{分值}8{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{考点:扇形的面积}{考点:圆周角定理}{考点:解直角三角形}{题目}24.(2019衡阳，T24）（本小题满分8分）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买一个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和 花费100元购买B商品的数量相等.（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元？（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？{解析}本题考查了利用分式方程解决实际问题和一元一次不等式组的应用.（1）设一个B商品为x元，则一个A商品为（x+10）元，然后根据“数量相等”列出分式方程进行求解；（2）设买A商品为y个，则买B商品，然后根据“A商品的数量不少于B商品数量的4倍”和“总费用不低于1000元且不高于1050元”列出一元一次不等式组求解，根据实际需要得出正整数解.{答案}解：(1)设买一个B商品为x元，则买一个A商品为(x+10)元，由题意得则，解得.经检验x=5是分式方程的解，且符合实际问题.∴x+10=15.答：买一个A商品为需要15元，买一个B商品需要5元.（2）设买A商品为y个，则买B商品，由题意得，解得；∵y为正整数，∴y=64或65，∴80-y=16或15.所以有两种方案： = 1 \* GB3 ①买A商品64个，B商品16个； = 2 \* GB3 ②买A商品65个，B商品15个.{分值}6{章节:[1-15-3]分式方程}{难度:4-较高难度}{类别:常考题}{类别:易错题}{考点:其他分式方程的应用}{考点:一元一次不等式组的应用}{题目}25.(2019衡阳,T25）（本小题满分10分）如图，二次函数的图象与x轴交于点A（-1,0）和点B(3,0),与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E.(1)求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB.请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.{解析}本题考查了二次函数的图象和性质、求二次函数的解析式、解直角三角形、三角形的面积.（1）把A(-1,0),B(3,0)代入，从而求出二次函数表达式；（2）由题意得正方形ABCD的边长为4，然后根据PC⊥PE，利用“同角的余角相等”易得∠PCB=∠EPO，根据正切的计算建立的关系式，从而利用二次函数的性质求出最大值；（3）设M的坐标(m，），同时根据点M的象限，可以得出m＞0，＜0，利用“割补法”得出△MBN的面积等于矩形的面积减去三个三角形的面积，利用二次函数的性质求出m的值，然后求出M的坐标.{答案}解：（1）把A(-1,0),B(3,0)代入得，解得，∴二次函数的表达式为；（2）设点P的坐标为（0，n），则OP=n，BP=3-n，由四边形ABCD是正方形，PC⊥PE，易得∠PCB=∠EPO，∵tan∠PCB=，tan∠EPO=,∴，即，∴OE=，,∴当n=时，OE有最大值为，此时点P在（，0）.设点M的坐标设M的坐标(m，），同时根据点M的象限，可以得出m＞0，＜0，点N的坐标为（0，-3）,∴ON=3,利用构建矩形可得=，∴当m=时，△MBN有最大值，把m=代入可得y=,∴点M的坐标为（，）.{分值}10{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}{难度:5-高难度}{类别:高度原创}{类别:常考题}{类别:易错题}{考点:其他二次函数综合题}{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}{考点:解直角三角形}{题目}26.(2019衡阳,T26）（本小题满分12分）如图，在等边三角形ABC中，AB=6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动.动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动.设运动时间为t（s），过点P作PE⊥AC于E,连接PQ交AC边于D.以CQ、CE为边作平行四边形CQFE.(1)当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的 平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB′的值最小？并求出最小值.{解析}本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、平行四边形的性质与判定、角平分线、轴对称、直角三角形的判定、全等三角形的性质与判定.(1)由题意可得∠B和∠BQP不可能是直角，所以∠BPQ=90°，结合直角三角形的性质容易得出BQ=2BP，从而建立关于t的一元一次方程，求解即可；（2）假设点F在∠ABC的 平分线上，容易得出∠BFQ=90°，所以BQ=2QF，结合平行四边形的性质得出QF=6-0.5t，从而求出t的值；（3）过点P作PN∥CQ，结合等边三角形的性质，易得PN=AP=CQ，AE=NE，然后通过求出△PND≌QCD，所以DN=DC,所以DE=AC=3；（4）连接AM,由“三线合一”可得BM=3=B′M，再由勾股定理可得AM=,在△AB′M中易得AB′的最小值为-3.{答案}解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°,BC=AC=6cm，∵四边形CQFE是平行四边形，∴CE∥FQ，∴∠CQF=∠ACB=60°，∴由题意可得∠B和∠BQP不可能是直角，所以∠BPQ=90°，∴∠BQP=30°，∴BP=BQ，即6-t=(6+t),解得t=2，即当t=2时，△BPQ为直角三角形；（2)存在，理由如下：∵∠A=60°，EF⊥AC，∴∠APE=30°，∴AE=AP=